Java → Вычисление математических функций в j2me (exp, ln, log, arcsin, arccos, arctn, power, root)

Вычисление математических функций в j2me (exp, ln, log, arcsin, arccos, arctn, power, root)


Конфигурация CDLC 1.1 позволяет работать с вещественными числами, поддерживая тип double. Однако стандартная библиотека Math включает в себя очень скудный набор математических функций: sin, cos, tan, sqrt. Существует несколько сторонних математических классов (например, Real.java, которую можно скачать по адресу http://sourceforge.net/projects/real-java). В этой статье я предлагаю написать собственную реализацию нескольких популярных математических функций.

В основе компьютерной математики лежит использование разложений функций в математические ряды. Подробно этот вопрос рассматривается в курсе Математического анализа любого Вуза. Если вкратце, то математическую функцию можно представить в виде бесконечной суммы слагаемых, причем каждое следующее слагаемое по модулю меньше предыдущего. Поэтому для вычисления функции с заданной точностью нужно выполнять сложение до тех пор, пока следующее слагаемое не станет меньше, чем требуемая точность вычисления.



Вычисление Экспоненты

Из курса математического анализа известно, что экспоненту можно представить в виде бесконечного ряда

.

При этом, чем больше аргумент x, тем больше слагаемых требуется брать для удовлетворения требуемой точности. При x>706 exp(x) не умещается в переменную типа double, поэтому перед вычислением экспоненты целесообразно проверить значение x на превышение порогового предела. Для реализации эффективного алгоритма вычисления экспоненты, нужно воспользоваться известным из курса школьной алгебры фактом:



Очевидно, число x<706 можно представить в виде суммы:

где коэффициенты a могут принимать значения 0 или 1, а b<1.



Величины можно вычислить заранее и записать в массив. Затем вычленить из x целую(b) и дробную часть. Для дробной части вычислить экспоненту как сумму ряда Тейлора. Найти ai можно, переведя целую часть числа x в двоичную систему. Тогда самому правому символу в двоичном представлении числа соответствует a0, второму справа числу – a0, и так далее. Ниже приведен код функции, вычисляющей экспоненту числа:

private double MExp(double x0){ 
double x=x0;
if (x0<0){x=-x0;}
//Массив со степенями экспоненты.
double ExpConst[]={
2.718281828459045, //e^1
7.389056098930649, //e^2
54.59815003314422, //e^4
2980.957987041726, //e^8
8886110.520507860, //e^16
78962960182680.61, //e^32
6.235149080811582e27, //e^64
3.887708405994552e55, //e^128
1.511427665004070e111, //e^256
2.284413586539655e222 //e^512
};
int x1=(int)x; //Выделяем целую часть числа
//Вычисляем экспоненту как сумму ряда Тейлора
int long n=1;
double b=1;
double sn=1;
while (sn>1E-16){
sn=sn(x-x1)/n;
b=b+sn;
n=n++;
}
//Переводим показатель экспоненты в двоичную систему.
StringBuffer s1=new StringBuffer(10);
s1.append(Integer.toBinaryString(x1));
int len=s1.length();
for (int i=s1.length(); i>0;i--)
{
if (s1.charAt(i-1)=='1'){b=bExpConst[len-i];}
}
if (x0<0){b=1/b;}
return b;
}

Гиперболические функции

Имея функцию для вычисления экспоненты, легко найти значения гиперболических функций.

, , .

Имеет смысл предварительно записать значение exp(x) во вспомогательную переменную, которую затем использовать для вычисления по формулам.
Вычисление натурального логарифма

Натуральный логарифм можно представить в виде суммы:



Вычислять значение логарифма непосредственно по этой формуле не очень эффективно. Для оптимизации алгоритма вычисления можно воспользоваться известными соотношениями

Представим число x в виде



где b<1, a-целое, тогда

.

Для того чтобы представить число x в требуемом виде, нужно найти позицию символа “E” в строковом представлении числа x, тогда a равно числу, записанному правее символа “E” плюс 1, a b – числу записанному левее “E”, деленному на 10.

Ниже представлен код, реализующий алгоритм вычисления натурального логарифма:

private double MLn(double x0){
double x=x0;
double y=0;
//Получаем показатель степени.
String s0=""+x;
int i=s0.indexOf("E");
String s1=s0.substring(i+1, s0.length());//Правее E
String s2=s0.substring(0, i);//Левее E
double a=0,b=0;
a=Double.parseDouble(s1)+1;
b=Double.parseDouble(s2)/10;
//Вычисление Логарифма b как суммы ряда Тейлора
int n=1;
double sn=1;
while (sn>(1E-16)n){
sn=-sn(b-1);
y=y+sn/n;
n=n++;
}
y=y+a2.302585092994046;
return y;
}


Вычисление корней, степеней и логарифмов

Имея функцию для вычисления натурального логарифма, легко вычислить следующие функции:


Вычисление арксинуса и арккосинуса

Вычисление обратных тригонометрических функций arcsin и arcos сводится к вычислению рядов.

Ниже приведен алгоритм вычисления арксинуса.

private double Marcsin(double x0){
double x=x0;
if (x0<0){x=-x0;}
double y=x;
int n=1;
double sn=x;
while (sn>1E-16){
sn=sn(2+1.0/n)0.5xx;
y=y+sn/(2n+1)/(2n+1);
n=n+1;
}
if (x0<0){y=-y;}
return y;
}


Вычисление арктангенса

Предложенная формула эффективна для вычисления арктангенса малого аргумента. Для построения алгоритма эффективного вычисления арктангенса от больших x, целесообразно воспользоваться формулой:


Ниже предлагается переписанный для java алгоритма, который написал товарищ Nikitin V.F. в 2000 году.
Вначале нужно проверить знак x, если x<0, нужно изменить знак, сделав аргумент неотрицательным.
Затем если x>1, обратить его: x=1/x.
Затем сокращаем область определения (запоминая число сделанных шагов), используя формулу

до тех пор, пока x не окажется в интервале [0,pi/12].
После этого можно вычислять y=arctg(x) по формуле Тейлора.
Сместим результат y на p/6 необходимое число раз
Если x было больше 1, то результат
Если x было отрицательным, то результат

private double MArctg(double x0) {
int sp=0;
double x,x2,y;
x=x0;
if(x<0) {x=-x;}
if(x>1) {x=1.0/x;}
//Уменьшаем интервал области аргумента
while(x>0.2617993877991495) {
sp++; //Вспомогательный счетчик шагов
x=(x1.732050807569-1)/(x+1.732050807569);
}
//Вычисляем ряд Тейлора
y=x;
int n=1;
double sn=x;
while (sn>1E-16){
sn=sn(2+1.0/n)0.5xx;
y=y+sn/(2n+1)/(2n+1);
n=n+1;
}

//Смещаем все на pi/6 необходимое число раз
y=y+sp0.523598775598

if(x0>1) a=0.2617993877991495-a;
if(x0<0) y=-y;

return y;
}


08 мая 2008 г.
Добавил: javavirys ( 2022-03-17 15:00:38 )
Теги:Java J2ME
Рейтинг: + 1 -
Просмотров: 202

Специальные предложения